[2014년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

첫째항이 [eqn: 4], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 제[eqn: 15]항의 값은? [3.8점]

①

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: a_{ 5}+a _{ 16}=24]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합은? [4.0점]

①

① [eqn: 240]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 160]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: sum _{k=1} ^{7} (k ^{2} +k-1)]의 값은? [3.9점]

②

① [eqn: 155]	② [eqn: 161]	③ [eqn: 167]

④ [eqn: 170]	⑤ [eqn: 175]

[eqn: log _{ 2}12 sqrt { 3}+log _{ 2}4 sqrt { 3}-4log _{ 2} sqrt { 3}]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4sqrt { 2}]

[eqn: a_{ 1}=a _{ 2}=1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킨다.

이때 [eqn: a_{ 10}+a _{ 11}]의 값은? [4.1점]

(가) [eqn: a_{ 2n+2}=a _{ 2n}+6]

(나) [eqn: a_{ 2n+1}=3a _{ 2n-1}]

①

① [eqn: 268]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 272]

④ [eqn: 274]	⑤ [eqn: 276]

[eqn: 27 ^{{1} over {3}} +log _{2} 4]의 값은? [3.8점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

거듭제곱근의 성질 중 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.9점]

⑤

ㄱ. [eqn: 49]의 제곱근은 [eqn: 7]이다.

ㄴ. [eqn: -1]은 [eqn: -1]의 세제곱근이다.

ㄷ. 제곱근 [eqn: 9]은 [eqn: +-3]이다.

ㄹ. [eqn: 81]의 실수인 네제곱근은 [eqn: 3]이다.
ㅁ. [eqn: -27]의 세제곱근 중 실수인 것은 [eqn: -3]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㅁ

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서
[eqn: a_{ 1}+a _{ 2}=48], [eqn: a _{ 1}+a _{ 2}+a _{ 3}+a _{ 4}=60], [eqn: a _{ 3}+a _{ 4}+a _{ 5}=18]
일 때, 첫째항과 공비의 합을 [eqn: {n} over {m}]라 할 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소이다.) [4.2점]

④

① [eqn: 190]	② [eqn: 191]	③ [eqn: 192]

④ [eqn: 193]	⑤ [eqn: 194]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_{ 1}=40], [eqn: a _{ 10}=13]일 때,
[eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | + LEFT | a _{2} RIGHT | + LEFT | a _{3} RIGHT | + CDOTS + LEFT | a _{30} RIGHT |]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 105]	② [eqn: 287]	③ [eqn: 392]

④ [eqn: 513]	⑤ [eqn: 679]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k} =n ^{2}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} =2n]을 만족시킬 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{k}]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]
④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 190]

다음은 [eqn: 0<h<1]이고, [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: (1-h) ^{ n}>1-nh] [eqn: cdots] ㉠
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은? [4.2점]

(ⅰ) [eqn: box { ````(가)````}]일 때,

[eqn: (좌변)=(1-h) ^{2} =1-2h+h ^{2}]
[eqn: (우변)=1-2h]
즉, [eqn: (좌변)>(우변)]이므로 부등식 ㉠이 성립한다.
(ⅱ) [eqn: n=k(k GEQ 2)]일 때 부등식 ㉠이 성립한다고

가정하면
[eqn: (1-h) ^{k} >1-kh]

양변에 [eqn: BOX{````(나)````}]를 곱하면
[eqn: (1-h) ^{k} ( BOX{````(나)````} )>(1-kh)( BOX{````(나)````} )]
이때 [eqn: kh ^{2} >0]이므로
[eqn: (1-kh)( BOX{````(나)````} )>1-(k+1)h]

이므로
[eqn: (1-h) ^{BOX{````(다)````}}>1-( box { ````(다)````})h]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은 [eqn: n` GEQ `2]인 모든

자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

④

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: n=1]	[eqn: 1-h]	[eqn: k]
②	[eqn: n=1]	[eqn: 1-kh]	[eqn: k+1]
③	[eqn: n=2]	[eqn: 1-kh]	[eqn: k+1]
④	[eqn: n=2]	[eqn: 1-h]	[eqn: k+1]
⑤	[eqn: n=2]	[eqn: 1-h]	[eqn: k]

[eqn: 80^x =2], [eqn: left( { 1} over {10 }right)^y =4], [eqn: a^z =8]을 만족시키는 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =1]이 성립할 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 32]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 160]

[eqn: 2^{ x+y}=3], [eqn: 3 ^{ x-y}=2]를 동시에 만족하는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x^{ 2}-y ^{ 2}]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: log _{ 10}2]	② [eqn: log _{ 10}3]	③ [eqn: log _{2} 3]

④ [eqn: log _{3} 2]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: 2]년 후 대학에 입학하게 될 [eqn: A]가 등록금 [eqn: 600]만원을 마련하기 위하여 월이율 [eqn: 0.4%], 매월마다 복리로 계산하는 적금에 가입하려고 한다. 매월 초에 시작하여 [eqn: 2]년 동안 적립할 때 [eqn: 2]년 말까지 등록금을 마련하려면 매달 적립해야할 금액은 얼마인가? (단, [eqn: 1.004 ^{23} =1.09,````1.004 ^{24} =1.1]으로 계산하고, 천의 자리 미만은 버린다.) [4.4점]

③

① [eqn: 237000`]원	② [eqn: 238000`]원	③ [eqn: 239000`]원

④ [eqn: 240000`]원	⑤ [eqn: 241000`]원

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=ax]가 원 [eqn: (x-2 sqrt {2} ) ^{2} +y ^{2} = {2} over {n ^{2}}]에 접하도록 하는 실수 [eqn: a]를 [eqn: f(n)]으로 나타낼 때, [eqn: sum _{n=1} ^{12} LEFT { f(n) RIGHT } ^{2}]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: {10} over {25}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {12} over {25}]

④ [eqn: {13} over {25}]	⑤ [eqn: {7} over {12}]

함수 [eqn: f(x)=(a _{n+1} -2a _{n} )x+a _{n+1}]가 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x-n]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 0]이고, 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]의 첫째항은 [eqn: 3]이라고 할 때, [eqn: a_{ 6}]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: sum _{n=2} ^{10} LEFT [ log _{n} 64 RIGHT ]]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4.4점]

④

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

서술형

수열 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: 64]에서 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b]와 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: 64]는 각각 등비수열을 이루고, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 등차수열을 이룰 때, 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하는 과정과 답을 구하시오. [10.0점]

[eqn: a=10], [eqn: b=25], [eqn: c=40]

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_{ n}]이 [eqn: S_{ n}=2n ^{ 2}+3n+1]인 수열
[eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [10.0점]

(1) [eqn: {cases{a _{n} =4n+1``&(n GEQ 2)#`a _{1} =6&}}]

(2) [eqn: 1621]

(1) 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]의 일반항을 구하는 과정과 답을 구하시오.

[5.0점]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k-1}]의 값을 구하는 과정과 답을 구하시오. [5.0점]

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} )], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]
이다. [eqn: S _{8} =32], [eqn: T _{10} = {5} over {42}]일 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하는 과정과 답을 구하시오. [10.0점]

[eqn: 38]

[2014년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

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